|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Een driedimensionaal beeld van de driehoek van Pascal
Beste,
dat was zeer zeker duidelijk! Bedankt voor uw degelijke uitleg!
Ik heb al een heel stel oefeningen correct kunnen oplossen daardoor.
Toch zit ik hier en daar nog met een vraagteken:
(1) [p/3 , p/6] òdx/sin2x
Ik dacht aan hervolgde: (-1/2)ln |sin2x| maar dan bekom ik als uitkomst = 0 ? Hoe moet ik dit aanpakken?
De juiste oplossing: (1/2)ln3
(2) [p,0] òxsinxcos4xdx we kregen als tip: stel x= p-u
Hier weet ik al helemaal niet hoe het verder moet. Zou u zo vriendelijk willen zijn me opnieuw verder te helpen aub?
Dank bij voorbaat
Vele groetjes
Antwoord
Hi,
Die eerste is nogal een klassieker, maar niet echt makkelijk te zien. Je kan hem met de t-formules doen als je die gezien hebt...
Of ook zo: bedenk dat sin(2x)=2sinxcosx.
òdx/(2sinxcosx)
= ò(cos2x+sin2x) / (2sinxcosx) dx (dat is de cruciale truc hier: je gebruikt de grondformule om de 1 te vervangen door cos2x + sin2x)
= 1/2 òcos2x / (sinxcosx) dx + 1/2 òsin2x / (sinxcosx) dx
= 1/2 òcosx / sinx dx + 1/2 òsinx / cosx dx
= 1/2 òd(sinx) / sinx - 1/2 òd(cosx) / cosx
= 1/2 ln(sinx) - 1/2 ln(cosx)
En als je dan je grenzen (correct ) invult dan kom je inderdaad op (1/2)ln3 (je moet wel eerst nog wat rekenregels van logaritmen toepassen...)
Die tweede vraag: je zou gewoon domweg aan de integraal kunnen beginnen, partiele integratie toepassen en zo, en dan daarna je grenzen invullen, en dan kom je er wel. Echter, met die tip erbij kan het misschien sneller. Want wat gebeurt er als je x=p-u stelt:
x loopt van 0 tot p dus u loopt van p tot 0.
dx wordt -du
x wordt p-u
sinx wordt sinu en cosx wordt -cosu (goniometrische formules ivm supplement van een hoek)
Je krijgt zodoende de integraal:
ò (p-u) sinu cos4u d(-u) voor u van p tot 0
Omwisselen van de integratiegrenzen zorgt voor een minteken:
ò (p-u) sinu cos4u du voor u van 0 tot p
= ò p sinu cos4u du - ò u sinu cos4u du
Die eerste term gaat nu vrij eenvoudig met de substitutie t = sinu dus dt = cosu du. En die tweede term is gewoon de oorspronkelijke integraal...
Dus als je die integraal even 'I' noemt, dan staat er:
I = ò p sinu cos4u du - I
2I = ò p sinu cos4u du met grenzen: u van 0 tot p.
En dan moet je dus enkel nog die ene integraal uitrekenen met die substitutie die ik opgaf, en je bent er. Ik kwam uit op I = p/5.
Groeten
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
